Løs frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Evaluer

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Overvej \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrér i. Kvadrér \sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Subtraher 2 fra -1 for at få -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i i\sqrt{2}-5 med hvert led i i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Multiplicer -i og 2 for at få -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Subtraher 5i fra -2i for at få -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Kombiner -\sqrt{2} og 5\sqrt{2} for at få 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Multiplicer både tælleren og nævneren med -1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Reel del

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$