Løs f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Løs for f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 33, det mindste fælles multiplum af 11,33.

$$3f=g$$

Divider begge sider med 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Substituer \frac{g}{3} for f i den anden ligning, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Adder \frac{g}{3} til g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Divider begge sider af ligningen med \frac{4}{3}, hvilket er det samme som at multiplicere begge sider med den reciprokke værdi af brøken.

$$g=30$$

Substituer 30 for g i f=\frac{1}{3}g. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange 30.

$$f=10$$

Systemet er nu løst.

$$f=10,g=30$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 33, det mindste fælles multiplum af 11,33.

$$3f=g$$

Subtraher g fra begge sider.

$$3f-g=0$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne f og g.

$$f=10,g=30$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Gang begge sider af ligningen med 33, det mindste fælles multiplum af 11,33.

$$3f=g$$

Subtraher g fra begge sider.

$$3f-g=0$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Hvis 3f og f skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med 1 og alle led på hver side af den anden ligning med 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Forenkling.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Subtraher 3f+3g=120 fra 3f-g=0 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Adder 3f til -3f. Betalingsbetingelserne 3f og -3f udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$-g-3g=-120$$

Adder -g til -3g.

$$-4g=-120$$

Divider begge sider med -4.

$$g=30$$

Substituer 30 for g i f+g=40. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for f.

$$f+30=40$$

Subtraher 30 fra begge sider af ligningen.

$$f=10$$

Systemet er nu løst.

$$f=10,g=30$$