Løs 81/41-y+15=71/y

$$\frac { 81 } { 41 - y } + 15 = \frac { 71 } { y }$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{413629} + 767}{30} \approx 47,004665122$$

$$y = \frac{767 - \sqrt{413629}}{30} \approx 4,128668211$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen y må ikke være lig med en af følgende værdier 0,41, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med y\left(y-41\right), det mindste fælles multiplum af 41-y,y.

$$-y\times 81+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Multiplicer -1 og 81 for at få -81.

$$-81y+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y med y-41.

$$-81y+\left(y^{2}-41y\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y^{2}-41y med 15.

$$-81y+15y^{2}-615y=\left(y-41\right)\times 71$$

Kombiner -81y og -615y for at få -696y.

$$-696y+15y^{2}=\left(y-41\right)\times 71$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y-41 med 71.

$$-696y+15y^{2}=71y-2911$$

Subtraher 71y fra begge sider.

$$-696y+15y^{2}-71y=-2911$$

Kombiner -696y og -71y for at få -767y.

$$-767y+15y^{2}=-2911$$

Tilføj 2911 på begge sider.

$$-767y+15y^{2}+2911=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$15y^{2}-767y+2911=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, -767 med b og 2911 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{\left(-767\right)^{2}-4\times 15\times 2911}}{2\times 15}$$

Kvadrér -767.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-4\times 15\times 2911}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-60\times 2911}}{2\times 15}$$

Multiplicer -60 gange 2911.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-174660}}{2\times 15}$$

Adder 588289 til -174660.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{413629}}{2\times 15}$$

Det modsatte af -767 er 767.

$$y=\frac{767±\sqrt{413629}}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30} når ± er plus. Adder 767 til \sqrt{413629}.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30} når ± er minus. Subtraher \sqrt{413629} fra 767.

$$y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30} y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen y må ikke være lig med en af følgende værdier 0,41, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med y\left(y-41\right), det mindste fælles multiplum af 41-y,y.

$$-y\times 81+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Multiplicer -1 og 81 for at få -81.

$$-81y+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y med y-41.

$$-81y+\left(y^{2}-41y\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y^{2}-41y med 15.

$$-81y+15y^{2}-615y=\left(y-41\right)\times 71$$

Kombiner -81y og -615y for at få -696y.

$$-696y+15y^{2}=\left(y-41\right)\times 71$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y-41 med 71.

$$-696y+15y^{2}=71y-2911$$

Subtraher 71y fra begge sider.

$$-696y+15y^{2}-71y=-2911$$

Kombiner -696y og -71y for at få -767y.

$$-767y+15y^{2}=-2911$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$15y^{2}-767y=-2911$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15y^{2}-767y}{15}=-\frac{2911}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y=-\frac{2911}{15}$$

Divider -\frac{767}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{767}{30}. Adder derefter kvadratet af -\frac{767}{30} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\left(-\frac{767}{30}\right)^{2}=-\frac{2911}{15}+\left(-\frac{767}{30}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{767}{30} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}=-\frac{2911}{15}+\frac{588289}{900}$$

Føj -\frac{2911}{15} til \frac{588289}{900} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}=\frac{413629}{900}$$

Faktor y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{767}{30}\right)^{2}=\frac{413629}{900}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{767}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{413629}{900}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{767}{30}=\frac{\sqrt{413629}}{30} y-\frac{767}{30}=-\frac{\sqrt{413629}}{30}$$

Adder \frac{767}{30} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30} y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$