Løs 8/n+4/n+10=1

$$\frac { 8 } { n } + \frac { 4 } { n + 10 } = 1$$

Løs for n

$$n=-8$$

$$n=10$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen n må ikke være lig med en af følgende værdier -10,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med n\left(n+10\right), det mindste fælles multiplum af n,n+10.

$$\left(n+10\right)\times 8+n\times 4=n\left(n+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere n+10 med 8.

$$8n+80+n\times 4=n\left(n+10\right)$$

Kombiner 8n og n\times 4 for at få 12n.

$$12n+80=n\left(n+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere n med n+10.

$$12n+80=n^{2}+10n$$

Subtraher n^{2} fra begge sider.

$$12n+80-n^{2}=10n$$

Subtraher 10n fra begge sider.

$$12n+80-n^{2}-10n=0$$

Kombiner 12n og -10n for at få 2n.

$$2n+80-n^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-n^{2}+2n+80=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -n^{2}+an+bn+80. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-80=-80$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=10 b=-8$$

Omskriv -n^{2}+2n+80 som \left(-n^{2}+10n\right)+\left(-8n+80\right).

$$\left(-n^{2}+10n\right)+\left(-8n+80\right)$$

Ud-n i den første og -8 i den anden gruppe.

$$-n\left(n-10\right)-8\left(n-10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet n-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(n-10\right)\left(-n-8\right)$$

Løs n-10=0 og -n-8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$n=10 n=-8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen n må ikke være lig med en af følgende værdier -10,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med n\left(n+10\right), det mindste fælles multiplum af n,n+10.

$$\left(n+10\right)\times 8+n\times 4=n\left(n+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere n+10 med 8.

$$8n+80+n\times 4=n\left(n+10\right)$$

Kombiner 8n og n\times 4 for at få 12n.

$$12n+80=n\left(n+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere n med n+10.

$$12n+80=n^{2}+10n$$

Subtraher n^{2} fra begge sider.

$$12n+80-n^{2}=10n$$

Subtraher 10n fra begge sider.

$$12n+80-n^{2}-10n=0$$

Kombiner 12n og -10n for at få 2n.

$$2n+80-n^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-n^{2}+2n+80=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og 80 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 80}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 80}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 80}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 80.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 320.

$$n=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$n=\frac{-2±18}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$n=\frac{-2±18}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-2±18}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 18.

$$n=\frac{16}{-2}$$

Divider 16 med -2.

$$n=-8$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-2±18}{-2} når ± er minus. Subtraher 18 fra -2.

$$n=-\frac{20}{-2}$$

Divider -20 med -2.

$$n=10$$

Ligningen er nu løst.

$$n=-8 n=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen n må ikke være lig med en af følgende værdier -10,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med n\left(n+10\right), det mindste fælles multiplum af n,n+10.

$$\left(n+10\right)\times 8+n\times 4=n\left(n+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere n+10 med 8.

$$8n+80+n\times 4=n\left(n+10\right)$$

Kombiner 8n og n\times 4 for at få 12n.

$$12n+80=n\left(n+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere n med n+10.

$$12n+80=n^{2}+10n$$

Subtraher n^{2} fra begge sider.

$$12n+80-n^{2}=10n$$

Subtraher 10n fra begge sider.

$$12n+80-n^{2}-10n=0$$

Kombiner 12n og -10n for at få 2n.

$$2n+80-n^{2}=0$$

Subtraher 80 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$2n-n^{2}=-80$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-n^{2}+2n=-80$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-n^{2}+2n}{-1}=-\frac{80}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$n^{2}+\frac{2}{-1}n=-\frac{80}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$n^{2}-2n=-\frac{80}{-1}$$

Divider -80 med -1.

$$n^{2}-2n=80$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-2n+1=80+1$$

Adder 80 til 1.

$$n^{2}-2n+1=81$$

Faktor n^{2}-2n+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n-1\right)^{2}=81$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n-1\right)^{2}}=\sqrt{81}$$

Forenkling.

$$n-1=9 n-1=-9$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$n=10 n=-8$$