Løs 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Løs for x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -15,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4x\left(x+15\right), det mindste fælles multiplum af x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicer 4 og 75 for at få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicer 4 og \frac{1}{4} for at få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombiner 300x og 15x for at få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtraher 315x fra begge sider.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombiner 300x og -315x for at få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+4500. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -15.

$$a=60 b=-75$$

Omskriv -x^{2}-15x+4500 som \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Udx i den første og 75 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+60 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Løs -x+60=0 og x+75=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=60 x=-75$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -15,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4x\left(x+15\right), det mindste fælles multiplum af x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicer 4 og 75 for at få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicer 4 og \frac{1}{4} for at få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombiner 300x og 15x for at få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtraher 315x fra begge sider.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombiner 300x og -315x for at få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -15 med b og 4500 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 225 til 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±135}{-2} når ± er plus. Adder 15 til 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Divider 150 med -2.

$$x=-75$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±135}{-2} når ± er minus. Subtraher 135 fra 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Divider -120 med -2.

$$x=60$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-75 x=60$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -15,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4x\left(x+15\right), det mindste fælles multiplum af x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicer 4 og 75 for at få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplicer 4 og \frac{1}{4} for at få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombiner 300x og 15x for at få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Subtraher 315x fra begge sider.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombiner 300x og -315x for at få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Subtraher 4500 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Divider -15 med -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Divider -4500 med -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Divider 15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Adder 4500 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Faktor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Subtraher \frac{15}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=60 x=-75$$