Løs 7/x-3-10/x-2-6/x-1=0

$$\frac { 7 } { x - 3 } - \frac { 10 } { x - 2 } - \frac { 6 } { x - 1 } = 0$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \approx 1,444444444$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-1, og kombiner ens led.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-3x+2 med 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-1, og kombiner ens led.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-4x+3 med 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

For at finde det modsatte af 10x^{2}-40x+30 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Kombiner 7x^{2} og -10x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Kombiner -21x og 40x for at få 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Subtraher 30 fra 14 for at få -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-2, og kombiner ens led.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-5x+6 med 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

For at finde det modsatte af 6x^{2}-30x+36 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Kombiner -3x^{2} og -6x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Kombiner 19x og 30x for at få 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Subtraher 36 fra -16 for at få -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -9x^{2}+ax+bx-52. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=49 ab=-9\left(-52\right)=468$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 468.

$$1,468 2,234 3,156 4,117 6,78 9,52 12,39 13,36 18,26$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+468=469 2+234=236 3+156=159 4+117=121 6+78=84 9+52=61 12+39=51 13+36=49 18+26=44$$

Løsningen er det par, der får summen 49.

$$a=36 b=13$$

Omskriv -9x^{2}+49x-52 som \left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right).

$$\left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right)$$

Ud9x i den første og -13 i den anden gruppe.

$$9x\left(-x+4\right)-13\left(-x+4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+4\right)\left(9x-13\right)$$

Løs -x+4=0 og 9x-13=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-1, og kombiner ens led.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-3x+2 med 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-1, og kombiner ens led.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-4x+3 med 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

For at finde det modsatte af 10x^{2}-40x+30 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Kombiner 7x^{2} og -10x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Kombiner -21x og 40x for at få 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Subtraher 30 fra 14 for at få -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-2, og kombiner ens led.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-5x+6 med 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

For at finde det modsatte af 6x^{2}-30x+36 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Kombiner -3x^{2} og -6x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Kombiner 19x og 30x for at få 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Subtraher 36 fra -16 for at få -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, 49 med b og -52 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér 49.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401+36\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange -52.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-1872}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 2401 til -1872.

$$x=\frac{-49±\sqrt{529}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-49±23}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{-49±23}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-49±23}{-18} når ± er plus. Adder -49 til 23.

$$x=-\frac{26}{-18}$$

Reducer fraktionen \frac{-26}{-18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{13}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-49±23}{-18} når ± er minus. Subtraher 23 fra -49.

$$x=-\frac{72}{-18}$$

Divider -72 med -18.

$$x=4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{13}{9} x=4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-1, og kombiner ens led.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-3x+2 med 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-1, og kombiner ens led.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-4x+3 med 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

For at finde det modsatte af 10x^{2}-40x+30 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Kombiner 7x^{2} og -10x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Kombiner -21x og 40x for at få 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Subtraher 30 fra 14 for at få -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-2, og kombiner ens led.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-5x+6 med 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

For at finde det modsatte af 6x^{2}-30x+36 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Kombiner -3x^{2} og -6x^{2} for at få -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Kombiner 19x og 30x for at få 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Subtraher 36 fra -16 for at få -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Tilføj 52 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-9x^{2}+49x=52$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}+49x}{-9}=\frac{52}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{49}{-9}x=\frac{52}{-9}$$

Divider 49 med -9.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=\frac{52}{-9}$$

Divider 52 med -9.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=-\frac{52}{9}$$

Divider -\frac{49}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{49}{18}. Adder derefter kvadratet af -\frac{49}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}=-\frac{52}{9}+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{49}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=-\frac{52}{9}+\frac{2401}{324}$$

Føj -\frac{52}{9} til \frac{2401}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=\frac{529}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}=\frac{529}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{324}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{49}{18}=\frac{23}{18} x-\frac{49}{18}=-\frac{23}{18}$$

Adder \frac{49}{18} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$