Løs frac{7+3sqrt{5}}{3+sqrt{5}}-frac{7-3sqrt{5}}{3-sqrt{5}}

$$\frac { 7 + 3 \sqrt { 5 } } { 3 + \sqrt { 5 } } - \frac { 7 - 3 \sqrt { 5 } } { 3 - \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Korte løsningstrin

Rationaliser \frac{7+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 3-\sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Overvej \left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Kvadrér 3. Kvadrér \sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{9-5}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Subtraher 5 fra 9 for at få 4.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$$

Rationaliser \frac{7-3\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 3+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}$$

Overvej \left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrér 3. Kvadrér \sqrt{5}.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}$$

Subtraher 5 fra 9 for at få 4.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}-\frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}$$

Eftersom \frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{4} og \frac{\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4} har den samme fællesnævner, kan du trække dem fra dem ved at trække deres tællere fra.

$$\frac{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)-\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}$$

Lav multiplikationerne i \left(7+3\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)-\left(7-3\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right).

$$\frac{21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}-15-21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}+15}{4}$$

Lav beregningerne i 21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}-15-21-7\sqrt{5}+9\sqrt{5}+15.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Udlign 4 og 4.

$$\sqrt{5}$$