Løs 60/x+10+60/x-10=8

$$\frac { 60 } { x + 10 } + \frac { 60 } { x - 10 } = 8$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -10,10, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-10\right)\left(x+10\right), det mindste fælles multiplum af x+10,x-10.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-10 med 60.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+10 med 60.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Kombiner 60x og 60x for at få 120x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Tilføj -600 og 600 for at få 0.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8 med x-10.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x-80 med x+10, og kombiner ens led.

$$120x=8x^{2}-800$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Tilføj 800 på begge sider.

$$120x-8x^{2}+800=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-8x^{2}+120x+800=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -8 med a, 120 med b og 800 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrér 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer -4 gange -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 32 gange 800.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+25600}}{2\left(-8\right)}$$

Adder 14400 til 25600.

$$x=\frac{-120±\sqrt{40000}}{2\left(-8\right)}$$

Tag kvadratroden af 40000.

$$x=\frac{-120±200}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 2 gange -8.

$$x=\frac{-120±200}{-16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-120±200}{-16} når ± er plus. Adder -120 til 200.

$$x=\frac{80}{-16}$$

Divider 80 med -16.

$$x=-5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-120±200}{-16} når ± er minus. Subtraher 200 fra -120.

$$x=-\frac{320}{-16}$$

Divider -320 med -16.

$$x=20$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-5 x=20$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -10,10, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-10\right)\left(x+10\right), det mindste fælles multiplum af x+10,x-10.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-10 med 60.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+10 med 60.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Kombiner 60x og 60x for at få 120x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Tilføj -600 og 600 for at få 0.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8 med x-10.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x-80 med x+10, og kombiner ens led.

$$120x=8x^{2}-800$$

Subtraher 8x^{2} fra begge sider.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-8x^{2}+120x=-800$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=-\frac{800}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=-\frac{800}{-8}$$

Divider 120 med -8.

$$x^{2}-15x=-\frac{800}{-8}$$

Divider -800 med -8.

$$x^{2}-15x=100$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Adder 100 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=20 x=-5$$