Løs frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Evaluer

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Løsningsvejledning

Faktoriser 27=3^{2}\times 3. Omskriv kvadratroden af produktet \sqrt{3^{2}\times 3} som produktet af kvadratrødderne \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Tag kvadratroden af 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Rationaliser \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Overvej \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrér 4. Kvadrér \sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Subtraher 3 fra 16 for at få 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 6+3\sqrt{3} med hvert led i 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Kombiner 6\sqrt{3} og 12\sqrt{3} for at få 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Multiplicer 3 og 3 for at få 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Tilføj 24 og 9 for at få 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$