Løs 5x+9/8x-1-5x+1/3x-1=1

$$\frac { 5 x + 9 } { 8 x - 1 } - \frac { 5 x + 1 } { 3 x - 1 } = 1$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}\approx 0,306122449-0,29993752i$$

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}\approx 0,306122449+0,29993752i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier \frac{1}{8},\frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(3x-1\right)\left(8x-1\right), det mindste fælles multiplum af 8x-1,3x-1.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 5x+9, og kombiner ens led.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x-1 med 5x+1, og kombiner ens led.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 40x^{2}+3x-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Kombiner 15x^{2} og -40x^{2} for at få -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Kombiner 22x og -3x for at få 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Tilføj -9 og 1 for at få -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 8x-1, og kombiner ens led.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Subtraher 24x^{2} fra begge sider.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Kombiner -25x^{2} og -24x^{2} for at få -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Tilføj 11x på begge sider.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Kombiner 19x og 11x for at få 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-49x^{2}+30x-8-1=0$$

Subtraher 1 fra -8 for at få -9.

$$-49x^{2}+30x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -49 med a, 30 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kvadrér 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer -4 gange -49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+196\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 196 gange -9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1764}}{2\left(-49\right)}$$

Adder 900 til -1764.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-864}}{2\left(-49\right)}$$

Tag kvadratroden af -864.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 2 gange -49.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} når ± er plus. Adder -30 til 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-30+12\sqrt{6}i}{-98}$$

Divider -30+12i\sqrt{6} med -98.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} når ± er minus. Subtraher 12i\sqrt{6} fra -30.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-30}{-98}$$

Divider -30-12i\sqrt{6} med -98.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49} x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier \frac{1}{8},\frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(3x-1\right)\left(8x-1\right), det mindste fælles multiplum af 8x-1,3x-1.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 5x+9, og kombiner ens led.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8x-1 med 5x+1, og kombiner ens led.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

For at finde det modsatte af 40x^{2}+3x-1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Kombiner 15x^{2} og -40x^{2} for at få -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Kombiner 22x og -3x for at få 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Tilføj -9 og 1 for at få -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 8x-1, og kombiner ens led.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Subtraher 24x^{2} fra begge sider.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Kombiner -25x^{2} og -24x^{2} for at få -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Tilføj 11x på begge sider.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Kombiner 19x og 11x for at få 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Tilføj 8 på begge sider.

$$-49x^{2}+30x=1+8$$

Tilføj 1 og 8 for at få 9.

$$-49x^{2}+30x=9$$

Divider begge sider med -49.

$$\frac{-49x^{2}+30x}{-49}=\frac{9}{-49}$$

Division med -49 annullerer multiplikationen med -49.

$$x^{2}+\frac{30}{-49}x=\frac{9}{-49}$$

Divider 30 med -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=\frac{9}{-49}$$

Divider 9 med -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=-\frac{9}{49}$$

Divider -\frac{30}{49}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{49}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{49} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{9}{49}+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{49} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{9}{49}+\frac{225}{2401}$$

Føj -\frac{9}{49} til \frac{225}{2401} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{216}{2401}$$

Faktor x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{216}{2401}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{216}{2401}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{49}=\frac{6\sqrt{6}i}{49} x-\frac{15}{49}=-\frac{6\sqrt{6}i}{49}$$

Adder \frac{15}{49} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49} x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$