Løs 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

For at finde det modsatte af x^{2}-4x+3 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 5x og 4x for at få 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtraher 3 fra -10 for at få -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7 med x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7x-21 med x-2, og kombiner ens led.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Subtraher 7x^{2} fra begge sider.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Kombiner -x^{2} og -7x^{2} for at få -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Tilføj 35x på begge sider.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Kombiner 9x og 35x for at få 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Subtraher 42 fra begge sider.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Subtraher 42 fra -13 for at få -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -8 med a, 44 med b og -55 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrér 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer -4 gange -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 32 gange -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Adder 1936 til -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Tag kvadratroden af 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplicer 2 gange -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} når ± er plus. Adder -44 til 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Divider -44+4\sqrt{11} med -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{11} fra -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Divider -44-4\sqrt{11} med -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 2,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), det mindste fælles multiplum af x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

For at finde det modsatte af x^{2}-4x+3 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 5x og 4x for at få 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Subtraher 3 fra -10 for at få -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7 med x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7x-21 med x-2, og kombiner ens led.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Subtraher 7x^{2} fra begge sider.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Kombiner -x^{2} og -7x^{2} for at få -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Tilføj 35x på begge sider.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Kombiner 9x og 35x for at få 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Tilføj 13 på begge sider.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Tilføj 42 og 13 for at få 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Divider begge sider med -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Division med -8 annullerer multiplikationen med -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Reducer fraktionen \frac{44}{-8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Divider 55 med -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Divider -\frac{11}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Føj -\frac{55}{8} til \frac{121}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Adder \frac{11}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$