Løs 5/x-2-3/x+6=4/x

$$\frac { 5 } { x - 2 } - \frac { 3 } { x + 6 } = \frac { 4 } { x }$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x=12$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-2\right)\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+6,x.

$$x\left(x+6\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+6.

$$\left(x^{2}+6x\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+6x med 5.

$$5x^{2}+30x-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-2.

$$5x^{2}+30x-\left(x^{2}-2x\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-2x med 3.

$$5x^{2}+30x-\left(3x^{2}-6x\right)=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

For at finde det modsatte af 3x^{2}-6x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$5x^{2}+30x-3x^{2}+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Kombiner 5x^{2} og -3x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}+30x+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Kombiner 30x og 6x for at få 36x.

$$2x^{2}+36x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x+6, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+36x=\left(x^{2}+4x-12\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+4x-12 med 4.

$$2x^{2}+36x=4x^{2}+16x-48$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}+36x-4x^{2}=16x-48$$

Kombiner 2x^{2} og -4x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+36x=16x-48$$

Subtraher 16x fra begge sider.

$$-2x^{2}+36x-16x=-48$$

Kombiner 36x og -16x for at få 20x.

$$-2x^{2}+20x=-48$$

Tilføj 48 på begge sider.

$$-2x^{2}+20x+48=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 20 med b og 48 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\times 48}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\times 48}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\times 48}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 400 til 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-20±28}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±28}{-4} når ± er plus. Adder -20 til 28.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Divider 8 med -4.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±28}{-4} når ± er minus. Subtraher 28 fra -20.

$$x=-\frac{48}{-4}$$

Divider -48 med -4.

$$x=12$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=12$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-2\right)\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+6,x.

$$x\left(x+6\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+6.

$$\left(x^{2}+6x\right)\times 5-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+6x med 5.

$$5x^{2}+30x-x\left(x-2\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-2.

$$5x^{2}+30x-\left(x^{2}-2x\right)\times 3=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-2x med 3.

$$5x^{2}+30x-\left(3x^{2}-6x\right)=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

For at finde det modsatte af 3x^{2}-6x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$5x^{2}+30x-3x^{2}+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Kombiner 5x^{2} og -3x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}+30x+6x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Kombiner 30x og 6x for at få 36x.

$$2x^{2}+36x=\left(x-2\right)\left(x+6\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x+6, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+36x=\left(x^{2}+4x-12\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+4x-12 med 4.

$$2x^{2}+36x=4x^{2}+16x-48$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}+36x-4x^{2}=16x-48$$

Kombiner 2x^{2} og -4x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+36x=16x-48$$

Subtraher 16x fra begge sider.

$$-2x^{2}+36x-16x=-48$$

Kombiner 36x og -16x for at få 20x.

$$-2x^{2}+20x=-48$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=-\frac{48}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=-\frac{48}{-2}$$

Divider 20 med -2.

$$x^{2}-10x=-\frac{48}{-2}$$

Divider -48 med -2.

$$x^{2}-10x=24$$

Divider -10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -5. Adder derefter kvadratet af -5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=24+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrér -5.

$$x^{2}-10x+25=24+25$$

Adder 24 til 25.

$$x^{2}-10x+25=49$$

Faktoriser x^{2}-10x+25. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=49$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Forenkling.

$$x-5=7 x-5=-7$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x=12 x=-2$$