Løs 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x-8 med x+2, og kombiner ens led.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for at få -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Tilføj 16 på begge sider.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Tilføj 5 og 16 for at få 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=9 b=-7$$

Omskriv -3x^{2}+2x+21 som \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Ud3x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Løs -x+3=0 og 3x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x-8 med x+2, og kombiner ens led.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for at få -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Tilføj 16 på begge sider.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Tilføj 5 og 16 for at få 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 2 med b og 21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 4 til 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±16}{-6} når ± er plus. Adder -2 til 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{14}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±16}{-6} når ± er minus. Subtraher 16 fra -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Divider -18 med -6.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4x-8 med x+2, og kombiner ens led.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for at få -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Subtraher 5 fra -16 for at få -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Divider 2 med -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Divider -21 med -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Adder 7 til \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$