Løs 4x-2-x^2/x-1=2x-4/x-1

$$\frac { 4 x - 2 - x ^ { 2 } } { x - 1 } = \frac { 2 x - 4 } { x - 1 }$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-1.

$$4x-2-x^{2}=2x-4$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x-2-x^{2}-2x=-4$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x-2-x^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$2x-2-x^{2}+4=0$$

Tilføj -2 og 4 for at få 2.

$$2x+2-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-2}{-2}$$

Divider -2+2\sqrt{3} med -2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-2}{-2}$$

Divider -2-2\sqrt{3} med -2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-1.

$$4x-2-x^{2}=2x-4$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x-2-x^{2}-2x=-4$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x-2-x^{2}=-4$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$2x-x^{2}=-4+2$$

Tilføj -4 og 2 for at få -2.

$$2x-x^{2}=-2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x=-2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{-1}$$

Divider -2 med -1.

$$x^{2}-2x=2$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=2+1$$

Adder 2 til 1.

$$x^{2}-2x+1=3$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=3$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Forenkling.

$$x-1=\sqrt{3} x-1=-\sqrt{3}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$