Løs 4-3x/x+3+5x-1/x+2=-5/2

$$\frac { 4 - 3 x } { x + 3 } + \frac { 5 x - 1 } { x + 2 } = - \frac { 5 } { 2 }$$

Løs for x

$$x = -\frac{40}{9} = -4\frac{4}{9} \approx -4,444444444$$

$$x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,-2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(x+2\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x+3,x+2,2.

$$\left(2x+4\right)\left(4-3x\right)+\left(2x+6\right)\left(5x-1\right)=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+4 med 4-3x, og kombiner ens led.

$$-4x-6x^{2}+16+\left(2x+6\right)\left(5x-1\right)=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+6 med 5x-1, og kombiner ens led.

$$-4x-6x^{2}+16+10x^{2}+28x-6=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Kombiner -6x^{2} og 10x^{2} for at få 4x^{2}.

$$-4x+4x^{2}+16+28x-6=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Kombiner -4x og 28x for at få 24x.

$$24x+4x^{2}+16-6=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Subtraher 6 fra 16 for at få 10.

$$24x+4x^{2}+10=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$24x+4x^{2}+10=\left(-5x-10\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5x-10 med x+3, og kombiner ens led.

$$24x+4x^{2}+10=-5x^{2}-25x-30$$

Tilføj 5x^{2} på begge sider.

$$24x+4x^{2}+10+5x^{2}=-25x-30$$

Kombiner 4x^{2} og 5x^{2} for at få 9x^{2}.

$$24x+9x^{2}+10=-25x-30$$

Tilføj 25x på begge sider.

$$24x+9x^{2}+10+25x=-30$$

Kombiner 24x og 25x for at få 49x.

$$49x+9x^{2}+10=-30$$

Tilføj 30 på begge sider.

$$49x+9x^{2}+10+30=0$$

Tilføj 10 og 30 for at få 40.

$$49x+9x^{2}+40=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$9x^{2}+49x+40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, 49 med b og 40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\times 9\times 40}}{2\times 9}$$

Kvadrér 49.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\times 9\times 40}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-36\times 40}}{2\times 9}$$

Multiplicer -36 gange 40.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-1440}}{2\times 9}$$

Adder 2401 til -1440.

$$x=\frac{-49±\sqrt{961}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af 961.

$$x=\frac{-49±31}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{-49±31}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-49±31}{18} når ± er plus. Adder -49 til 31.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Divider -18 med 18.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-49±31}{18} når ± er minus. Subtraher 31 fra -49.

$$x=-\frac{80}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-80}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{40}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=-\frac{40}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,-2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(x+2\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x+3,x+2,2.

$$\left(2x+4\right)\left(4-3x\right)+\left(2x+6\right)\left(5x-1\right)=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+4 med 4-3x, og kombiner ens led.

$$-4x-6x^{2}+16+\left(2x+6\right)\left(5x-1\right)=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+6 med 5x-1, og kombiner ens led.

$$-4x-6x^{2}+16+10x^{2}+28x-6=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Kombiner -6x^{2} og 10x^{2} for at få 4x^{2}.

$$-4x+4x^{2}+16+28x-6=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Kombiner -4x og 28x for at få 24x.

$$24x+4x^{2}+16-6=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Subtraher 6 fra 16 for at få 10.

$$24x+4x^{2}+10=-5\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5 med x+2.

$$24x+4x^{2}+10=\left(-5x-10\right)\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -5x-10 med x+3, og kombiner ens led.

$$24x+4x^{2}+10=-5x^{2}-25x-30$$

Tilføj 5x^{2} på begge sider.

$$24x+4x^{2}+10+5x^{2}=-25x-30$$

Kombiner 4x^{2} og 5x^{2} for at få 9x^{2}.

$$24x+9x^{2}+10=-25x-30$$

Tilføj 25x på begge sider.

$$24x+9x^{2}+10+25x=-30$$

Kombiner 24x og 25x for at få 49x.

$$49x+9x^{2}+10=-30$$

Subtraher 10 fra begge sider.

$$49x+9x^{2}=-30-10$$

Subtraher 10 fra -30 for at få -40.

$$49x+9x^{2}=-40$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$9x^{2}+49x=-40$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}+49x}{9}=-\frac{40}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{49}{9}x=-\frac{40}{9}$$

Divider \frac{49}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{49}{18}. Adder derefter kvadratet af \frac{49}{18} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{49}{9}x+\left(\frac{49}{18}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{49}{18}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{49}{18} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=-\frac{40}{9}+\frac{2401}{324}$$

Føj -\frac{40}{9} til \frac{2401}{324} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=\frac{961}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{49}{18}\right)^{2}=\frac{961}{324}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{324}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{49}{18}=\frac{31}{18} x+\frac{49}{18}=-\frac{31}{18}$$

Subtraher \frac{49}{18} fra begge sider af ligningen.

$$x=-1 x=-\frac{40}{9}$$