Løs 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=12$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,6, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-6\right), det mindste fælles multiplum af x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-6 med 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Kombiner 4x og x\times 4 for at få 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Kombiner 8x og 6x for at få 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som -x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Løsningen er det par, der får summen 14.

$$a=12 b=2$$

Omskriv -x^{2}+14x-24 som \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Udfaktoriser -x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-12 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Løs x-12=0 og -x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=12 x=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,6, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-6\right), det mindste fælles multiplum af x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-6 med 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Kombiner 4x og x\times 4 for at få 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Kombiner 8x og 6x for at få 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 14 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 196 til -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±10}{-2} når ± er plus. Adder -14 til 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±10}{-2} når ± er minus. Subtraher 10 fra -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divider -24 med -2.

$$x=12$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=12$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,6, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-6\right), det mindste fælles multiplum af x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-6 med 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Kombiner 4x og x\times 4 for at få 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Kombiner 8x og 6x for at få 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Tilføj 24 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$14x-x^{2}=24$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+14x=24$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Divider 14 med -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Divider 24 med -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Divider -14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -7. Adder derefter kvadratet af -7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrér -7.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Adder -24 til 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Faktoriser x^{2}-14x+49. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$x=12 x=2$$