Løs 360/x-360/x+5=1

$$\frac { 360 } { x } - \frac { 360 } { x + 5 } = 1$$

Løs for x

$$x=-45$$

$$x=40$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 360-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 360.

$$360x+1800-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+5.

$$360x+1800-x\times 360=x^{2}+5x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}-5x=0$$

Kombiner 360x og -5x for at få 355x.

$$355x+1800-x\times 360-x^{2}=0$$

Multiplicer -1 og 360 for at få -360.

$$355x+1800-360x-x^{2}=0$$

Kombiner 355x og -360x for at få -5x.

$$-5x+1800-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-5x+1800=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+1800. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=-1800=-1800$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -1800.

$$1,-1800 2,-900 3,-600 4,-450 5,-360 6,-300 8,-225 9,-200 10,-180 12,-150 15,-120 18,-100 20,-90 24,-75 25,-72 30,-60 36,-50 40,-45$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-1800=-1799 2-900=-898 3-600=-597 4-450=-446 5-360=-355 6-300=-294 8-225=-217 9-200=-191 10-180=-170 12-150=-138 15-120=-105 18-100=-82 20-90=-70 24-75=-51 25-72=-47 30-60=-30 36-50=-14 40-45=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=40 b=-45$$

Omskriv -x^{2}-5x+1800 som \left(-x^{2}+40x\right)+\left(-45x+1800\right).

$$\left(-x^{2}+40x\right)+\left(-45x+1800\right)$$

Udx i den første og 45 i den anden gruppe.

$$x\left(-x+40\right)+45\left(-x+40\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+40 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+40\right)\left(x+45\right)$$

Løs -x+40=0 og x+45=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=40 x=-45$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 360-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 360.

$$360x+1800-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+5.

$$360x+1800-x\times 360=x^{2}+5x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}-5x=0$$

Kombiner 360x og -5x for at få 355x.

$$355x+1800-x\times 360-x^{2}=0$$

Multiplicer -1 og 360 for at få -360.

$$355x+1800-360x-x^{2}=0$$

Kombiner 355x og -360x for at få -5x.

$$-5x+1800-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-5x+1800=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -5 med b og 1800 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 1800}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 1800}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 1800}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 1800.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+7200}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 25 til 7200.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7225}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 7225.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±85}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±85}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{5±85}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±85}{-2} når ± er plus. Adder 5 til 85.

$$x=\frac{90}{-2}$$

Divider 90 med -2.

$$x=-45$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±85}{-2} når ± er minus. Subtraher 85 fra 5.

$$x=-\frac{80}{-2}$$

Divider -80 med -2.

$$x=40$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-45 x=40$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 360-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 360.

$$360x+1800-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+5.

$$360x+1800-x\times 360=x^{2}+5x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}=5x$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}-5x=0$$

Kombiner 360x og -5x for at få 355x.

$$355x+1800-x\times 360-x^{2}=0$$

Subtraher 1800 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$355x-x\times 360-x^{2}=-1800$$

Multiplicer -1 og 360 for at få -360.

$$355x-360x-x^{2}=-1800$$

Kombiner 355x og -360x for at få -5x.

$$-5x-x^{2}=-1800$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-5x=-1800$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{1800}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{1800}{-1}$$

Divider -5 med -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{1800}{-1}$$

Divider -1800 med -1.

$$x^{2}+5x=1800$$

Divider 5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=1800+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=1800+\frac{25}{4}$$

Adder 1800 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{7225}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{7225}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7225}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{85}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{85}{2}$$

Subtraher \frac{5}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=40 x=-45$$