Løs 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Løs for x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,-2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x+2\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+3 med x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

For at finde det modsatte af x^{2}+3x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Kombiner -x^{2} og -2x^{2} for at få -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Kombiner -3x og -5x for at få -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Subtraher 2 fra 30 for at få 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3x^{2}+ax+bx+28. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=6 b=-14$$

Omskriv -3x^{2}-8x+28 som \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Ud3x i den første og 14 i den anden gruppe.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Løs -x+2=0 og 3x+14=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,-2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x+2\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+3 med x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

For at finde det modsatte af x^{2}+3x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Kombiner -x^{2} og -2x^{2} for at få -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Kombiner -3x og -5x for at få -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Subtraher 2 fra 30 for at få 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, -8 med b og 28 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 64 til 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±20}{-6} når ± er plus. Adder 8 til 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{28}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±20}{-6} når ± er minus. Subtraher 20 fra 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Divider -12 med -6.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,-2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x+2\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+3 med x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

For at finde det modsatte af x^{2}+3x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 2x+1, og kombiner ens led.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Kombiner -x^{2} og -2x^{2} for at få -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Subtraher 5x fra begge sider.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Kombiner -3x og -5x for at få -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Subtraher 30 fra begge sider.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Subtraher 30 fra 2 for at få -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Divider -8 med -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Divider -28 med -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Divider \frac{8}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{4}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{4}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{4}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Føj \frac{28}{3} til \frac{16}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Subtraher \frac{4}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$