Løs 3x-8/x-2=5x-2/x+5

$$\frac { 3 x - 8 } { x - 2 } = \frac { 5 x - 2 } { x + 5 }$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+5.

$$\left(x+5\right)\left(3x-8\right)=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 3x-8, og kombiner ens led.

$$3x^{2}+7x-40=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 5x-2, og kombiner ens led.

$$3x^{2}+7x-40=5x^{2}-12x+4$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+7x-40-5x^{2}=-12x+4$$

Kombiner 3x^{2} og -5x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+7x-40=-12x+4$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$-2x^{2}+7x-40+12x=4$$

Kombiner 7x og 12x for at få 19x.

$$-2x^{2}+19x-40=4$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$-2x^{2}+19x-40-4=0$$

Subtraher 4 fra -40 for at få -44.

$$-2x^{2}+19x-44=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 19 med b og -44 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\left(-2\right)\left(-44\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\left(-2\right)\left(-44\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+8\left(-44\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -44.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-352}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 361 til -352.

$$x=\frac{-19±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-19±3}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-19±3}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-19±3}{-4} når ± er plus. Adder -19 til 3.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Divider -16 med -4.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-19±3}{-4} når ± er minus. Subtraher 3 fra -19.

$$x=-\frac{22}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-22}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{11}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=\frac{11}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -5,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+5\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+5.

$$\left(x+5\right)\left(3x-8\right)=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+5 med 3x-8, og kombiner ens led.

$$3x^{2}+7x-40=\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 5x-2, og kombiner ens led.

$$3x^{2}+7x-40=5x^{2}-12x+4$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+7x-40-5x^{2}=-12x+4$$

Kombiner 3x^{2} og -5x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+7x-40=-12x+4$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$-2x^{2}+7x-40+12x=4$$

Kombiner 7x og 12x for at få 19x.

$$-2x^{2}+19x-40=4$$

Tilføj 40 på begge sider.

$$-2x^{2}+19x=4+40$$

Tilføj 4 og 40 for at få 44.

$$-2x^{2}+19x=44$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+19x}{-2}=\frac{44}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{19}{-2}x=\frac{44}{-2}$$

Divider 19 med -2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{44}{-2}$$

Divider 44 med -2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=-22$$

Divider -\frac{19}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{19}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{19}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{19}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=-22+\frac{361}{16}$$

Adder -22 til \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{3}{4}$$

Adder \frac{19}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{11}{2} x=4$$