Løs for x, y
x=6
y=2
Graf
Aktie
Kopieret til udklipsholder
3x+2y=22
Overvej den første ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 2.
2x+y=14
Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 2.
3x+2y=22,2x+y=14
Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.
3x+2y=22
Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.
3x=-2y+22
Subtraher 2y fra begge sider af ligningen.
x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)
Divider begge sider med 3.
x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}
Multiplicer \frac{1}{3} gange -2y+22.
2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14
Substituer \frac{-2y+22}{3} for x i den anden ligning, 2x+y=14.
-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14
Multiplicer 2 gange \frac{-2y+22}{3}.
-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14
Adder -\frac{4y}{3} til y.
-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}
Subtraher \frac{44}{3} fra begge sider af ligningen.
y=2
Multiplicer begge sider med -3.
x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}
Substituer 2 for y i x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.
x=\frac{-4+22}{3}
Multiplicer -\frac{2}{3} gange 2.
x=6
Føj \frac{22}{3} til -\frac{4}{3} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.
x=6,y=2
Systemet er nu løst.
3x+2y=22
Overvej den første ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 2.
2x+y=14
Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 2.
3x+2y=22,2x+y=14
Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.
\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Skriv ligningerne i matrixformularen.
inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)
Udfør aritmetikken.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)
Multiplicer matrixer.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)
Udfør aritmetikken.
x=6,y=2
Udtræk matrixelementerne x og y.
3x+2y=22
Overvej den første ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 2.
2x+y=14
Overvej den anden ligning. Multiplicer begge sider af ligningen med 2.
3x+2y=22,2x+y=14
Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.
2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14
Hvis 3x og 2x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med 2 og alle led på hver side af den anden ligning med 3.
6x+4y=44,6x+3y=42
Forenkling.
6x-6x+4y-3y=44-42
Subtraher 6x+3y=42 fra 6x+4y=44 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.
4y-3y=44-42
Adder 6x til -6x. Betalingsbetingelserne 6x og -6x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.
y=44-42
Adder 4y til -3y.
y=2
Adder 44 til -42.
2x+2=14
Substituer 2 for y i 2x+y=14. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.
2x=12
Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.
x=6
Divider begge sider med 2.
x=6,y=2
Systemet er nu løst.
Eksempler
Kvadratisk ligning
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometri
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineær ligning
y = 3x + 4
Aritmetik
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Samtidig ligning
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differentiering
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grænser
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}