Løs 3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1,774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0,225403331$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

For at finde det modsatte af 3x+2 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 5x+1, og kombiner ens led.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Tilføj -3 og 3 for at få 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Kombiner -14x og x for at få -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Tilføj 13x på begge sider.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Kombiner -3x og 13x for at få 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 10 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 100 til -40.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

Tag kvadratroden af 60.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} når ± er plus. Adder -10 til 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Divider -10+2\sqrt{15} med -10.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{15} fra -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Divider -10-2\sqrt{15} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-3\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

For at finde det modsatte af 3x+2 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-3 med 5x+1, og kombiner ens led.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Tilføj -3 og 3 for at få 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Kombiner -14x og x for at få -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Tilføj 13x på begge sider.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Kombiner -3x og 13x for at få 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Tilføj 2 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$10x-5x^{2}=2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+10x=2$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

Divider 10 med -5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

Divider 2 med -5.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

Adder -\frac{2}{5} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$