Løs 3/x-2-10/x+2=1

$$\frac { 3 } { x - 2 } - \frac { 10 } { x + 2 } = 1$$

Løs for x

$$x=-10$$

$$x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 3.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 10.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

For at finde det modsatte af 10x-20 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Kombiner 3x og -10x for at få -7x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Tilføj 6 og 20 for at få 26.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$-7x+26-x^{2}+4=0$$

Tilføj 26 og 4 for at få 30.

$$-7x+30-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-7x+30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -7 med b og 30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 49 til 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{7±13}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±13}{-2} når ± er plus. Adder 7 til 13.

$$x=\frac{20}{-2}$$

Divider 20 med -2.

$$x=-10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±13}{-2} når ± er minus. Subtraher 13 fra 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-10 x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 3.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med 10.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

For at finde det modsatte af 10x-20 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Kombiner 3x og -10x for at få -7x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Tilføj 6 og 20 for at få 26.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Subtraher 26 fra begge sider.

$$-7x-x^{2}=-4-26$$

Subtraher 26 fra -4 for at få -30.

$$-7x-x^{2}=-30$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-7x=-30$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)x=-\frac{30}{-1}$$

Divider -7 med -1.

$$x^{2}+7x=-\frac{30}{-1}$$

Divider -30 med -1.

$$x^{2}+7x=30$$

Divider 7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Adder 30 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Subtraher \frac{7}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-10$$