Løs 3/x+5/x+2=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 5 } { x + 2 } = 2$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner 3x og x\times 5 for at få 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Kombiner 8x og -4x for at få 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Divider begge sider med 2.

$$2x+3-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=3 b=-1$$

Omskriv -x^{2}+2x+3 som \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Løs x-3=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner 3x og x\times 5 for at få 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Kombiner 8x og -4x for at få 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+4x+6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 4 med b og 6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 16 til 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-4±8}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±8}{-4} når ± er plus. Adder -4 til 8.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Divider 4 med -4.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±8}{-4} når ± er minus. Subtraher 8 fra -4.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Divider -12 med -4.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Kombiner 3x og x\times 5 for at få 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Kombiner 8x og -4x for at få 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Subtraher 6 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$4x-2x^{2}=-6$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+4x=-6$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

Divider 4 med -2.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x^{2}-2x=3$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adder 3 til 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-1$$