Løs 3/x+3/x-5=3x-12/x-5

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x - 5 } = \frac { 3 x - 12 } { x - 5 }$$

Løs for x

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-5\right), det mindste fælles multiplum af x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Kombiner 3x og x\times 3 for at få 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Kombiner 6x og 12x for at få 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Divider begge sider med 3.

$$6x-5-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=5 b=1$$

Omskriv -x^{2}+6x-5 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser -x i -x^{2}+5x.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Løs x-5=0 og -x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=1$$

Variablen x må ikke være lig med 5.

$$x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-5\right), det mindste fælles multiplum af x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Kombiner 3x og x\times 3 for at få 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Kombiner 6x og 12x for at få 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+18x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 18 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+12\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -15.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-180}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 324 til -180.

$$x=\frac{-18±\sqrt{144}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$x=\frac{-18±12}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-18±12}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±12}{-6} når ± er plus. Adder -18 til 12.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Divider -6 med -6.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±12}{-6} når ± er minus. Subtraher 12 fra -18.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Divider -30 med -6.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=5$$

Variablen x må ikke være lig med 5.

$$x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,5, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-5\right), det mindste fælles multiplum af x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Kombiner 3x og x\times 3 for at få 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Kombiner 6x og 12x for at få 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Tilføj 15 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$18x-3x^{2}=15$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+18x=15$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+18x}{-3}=\frac{15}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{18}{-3}x=\frac{15}{-3}$$

Divider 18 med -3.

$$x^{2}-6x=\frac{15}{-3}$$

Divider 15 med -3.

$$x^{2}-6x=-5$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Adder -5 til 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkling.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=1$$

Variablen x må ikke være lig med 5.

$$x=1$$