Løs 3/x+2/x-1=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 2 } { x - 1 } = 2$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Kombiner 3x og x\times 2 for at få 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Kombiner 5x og 2x for at få 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 6.

$$1,6 2,3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+6=7 2+3=5$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=6 b=1$$

Omskriv -2x^{2}+7x-3 som \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right)$$

Ud2x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$2x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-1\right)$$

Løs -x+3=0 og 2x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Kombiner 3x og x\times 2 for at få 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Kombiner 5x og 2x for at få 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 7 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 49 til -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-7±5}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±5}{-4} når ± er plus. Adder -7 til 5.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±5}{-4} når ± er minus. Subtraher 5 fra -7.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Divider -12 med -4.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 0,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Kombiner 3x og x\times 2 for at få 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Kombiner 5x og 2x for at få 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Tilføj 3 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$7x-2x^{2}=3$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+7x=3$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Divider 7 med -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Divider 3 med -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Føj -\frac{3}{2} til \frac{49}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$