Løs 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Løs for x

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,-4,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+6 med 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+4 med 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

For at finde det modsatte af 4x+16 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Kombiner 3x og -4x for at få -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtraher 16 fra 18 for at få 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-4, og kombiner ens led.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Kombiner -x og 6x for at få 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Subtraher 8 fra 2 for at få -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-6. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 6.

$$1,6 2,3$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+6=7 2+3=5$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=3 b=2$$

Omskriv -x^{2}+5x-6 som \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Ud-x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

Løs x-3=0 og -x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=2$$

Variablen x må ikke være lig med 2.

$$x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,-4,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+6 med 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+4 med 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

For at finde det modsatte af 4x+16 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Kombiner 3x og -4x for at få -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtraher 16 fra 18 for at få 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-4, og kombiner ens led.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Kombiner -x og 6x for at få 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Subtraher 8 fra 2 for at få -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 5 med b og -6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 25 til -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±1}{-2} når ± er plus. Adder -5 til 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±1}{-2} når ± er minus. Subtraher 1 fra -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=3$$

Variablen x må ikke være lig med 2.

$$x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,-4,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+6 med 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+4 med 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

For at finde det modsatte af 4x+16 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Kombiner 3x og -4x for at få -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtraher 16 fra 18 for at få 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-4, og kombiner ens led.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Kombiner -x og 6x for at få 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtraher 2 fra begge sider.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Subtraher 2 fra 8 for at få 6.

$$5x-x^{2}=6$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+5x=6$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Divider 5 med -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Divider 6 med -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Adder -6 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=2$$

Variablen x må ikke være lig med 2.

$$x=3$$