Løs 2x-2x^2/x-2=12

$$\frac { 2 x - 2 x ^ { 2 } } { x - 2 } = 12$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{73} - 5}{2} \approx 1,772001873$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}\approx -6,772001873$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 2, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-2.

$$2x-2x^{2}=12\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12 med x-2.

$$2x-2x^{2}=12x-24$$

Subtraher 12x fra begge sider.

$$2x-2x^{2}-12x=-24$$

Kombiner 2x og -12x for at få -10x.

$$-10x-2x^{2}=-24$$

Tilføj 24 på begge sider.

$$-10x-2x^{2}+24=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}-10x+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, -10 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+192}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 100 til 192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{292}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 292.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{73}}{2\left(-2\right)}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{73}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4} når ± er plus. Adder 10 til 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+10}{-4}$$

Divider 10+2\sqrt{73} med -4.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±2\sqrt{73}}{-4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{73} fra 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{73}}{-4}$$

Divider 10-2\sqrt{73} med -4.

$$x=\frac{\sqrt{73}-5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2} x=\frac{\sqrt{73}-5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 2, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x-2.

$$2x-2x^{2}=12\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12 med x-2.

$$2x-2x^{2}=12x-24$$

Subtraher 12x fra begge sider.

$$2x-2x^{2}-12x=-24$$

Kombiner 2x og -12x for at få -10x.

$$-10x-2x^{2}=-24$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}-10x=-24$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}-10x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-2}\right)x=-\frac{24}{-2}$$

Divider -10 med -2.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-2}$$

Divider -24 med -2.

$$x^{2}+5x=12$$

Divider 5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=12+\frac{25}{4}$$

Adder 12 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{73}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{73}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{73}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Subtraher \frac{5}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{73}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{73}-5}{2}$$