Løs 2x/x+1=x+1/2

$$\frac { 2 x } { x + 1 } = \frac { x + 1 } { 2 }$$

Løs for x

$$x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med -1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,2.

$$2\times 2x=\left(x+1\right)\left(x+1\right)$$

Multiplicer x+1 og x+1 for at få \left(x+1\right)^{2}.

$$2\times 2x=\left(x+1\right)^{2}$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$4x=\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4x=x^{2}+2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x-x^{2}=2x+1$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x-x^{2}-2x=1$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$2x-x^{2}-1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Divider -2 med -2.

$$x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med -1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,2.

$$2\times 2x=\left(x+1\right)\left(x+1\right)$$

Multiplicer x+1 og x+1 for at få \left(x+1\right)^{2}.

$$2\times 2x=\left(x+1\right)^{2}$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$4x=\left(x+1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4x=x^{2}+2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x-x^{2}=2x+1$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$4x-x^{2}-2x=1$$

Kombiner 4x og -2x for at få 2x.

$$2x-x^{2}=1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x=1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-2x=-1$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Adder -1 til 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-1=0 x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=1$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=1$$