Løs 2x^2+1/x^2+3x-4=2(2)^2+1/2^2+3(2)-4=

$$\frac { 2 x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { 2 ( 2 ) ^ { 2 } + 1 } { 2 ^ { 2 } + 3 ( 2 ) - 4 } =$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=7$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -4,1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+4\right).

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(2\times 2^{2}+1\right)$$

Hvis du vil gange potenser for den samme base, skal du tilføje deres eksponenter. Tilføj 1 og 2 for at få 3.

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(2^{3}+1\right)$$

Beregn 2 til potensen af 3, og få 8.

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(8+1\right)$$

Tilføj 8 og 1 for at få 9.

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\times 9$$

Multiplicer \frac{1}{6} og 9 for at få \frac{3}{2}.

$$2x^{2}+1=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{3}{2} med x-1.

$$2x^{2}+1=\left(\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\right)\left(x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{3}{2}x-\frac{3}{2} med x+4, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+1=\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-6$$

Subtraher \frac{3}{2}x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}+1-\frac{3}{2}x^{2}=\frac{9}{2}x-6$$

Kombiner 2x^{2} og -\frac{3}{2}x^{2} for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{9}{2}x-6$$

Subtraher \frac{9}{2}x fra begge sider.

$$\frac{1}{2}x^{2}+1-\frac{9}{2}x=-6$$

Tilføj 6 på begge sider.

$$\frac{1}{2}x^{2}+1-\frac{9}{2}x+6=0$$

Tilføj 1 og 6 for at få 7.

$$\frac{1}{2}x^{2}+7-\frac{9}{2}x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{2} med a, -\frac{9}{2} med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 7}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{81}{4}-4\times \frac{1}{2}\times 7}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{81}{4}-2\times 7}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer -2 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{81}{4}-14}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Adder \frac{81}{4} til -14.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{25}{4}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Tag kvadratroden af \frac{25}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\frac{5}{2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Det modsatte af -\frac{9}{2} er \frac{9}{2}.

$$x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{5}{2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{5}{2}}{1}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{5}{2}}{1} når ± er plus. Føj \frac{9}{2} til \frac{5}{2} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{7}{1}$$

Divider 7 med 1.

$$x=7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{5}{2}}{1} når ± er minus. Subtraher \frac{5}{2} fra \frac{9}{2} ved at finde en fællesnævner og subtrahere tællerne. Reducer derefter brøken til de lavest mulige led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{2}{1}$$

Divider 2 med 1.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7 x=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -4,1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+4\right).

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(2\times 2^{2}+1\right)$$

Hvis du vil gange potenser for den samme base, skal du tilføje deres eksponenter. Tilføj 1 og 2 for at få 3.

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(2^{3}+1\right)$$

Beregn 2 til potensen af 3, og få 8.

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(8+1\right)$$

Tilføj 8 og 1 for at få 9.

$$2x^{2}+1=\frac{1}{6}\left(x-1\right)\left(x+4\right)\times 9$$

Multiplicer \frac{1}{6} og 9 for at få \frac{3}{2}.

$$2x^{2}+1=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{3}{2} med x-1.

$$2x^{2}+1=\left(\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\right)\left(x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere \frac{3}{2}x-\frac{3}{2} med x+4, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+1=\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-6$$

Subtraher \frac{3}{2}x^{2} fra begge sider.

$$2x^{2}+1-\frac{3}{2}x^{2}=\frac{9}{2}x-6$$

Kombiner 2x^{2} og -\frac{3}{2}x^{2} for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{9}{2}x-6$$

Subtraher \frac{9}{2}x fra begge sider.

$$\frac{1}{2}x^{2}+1-\frac{9}{2}x=-6$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x=-6-1$$

Subtraher 1 fra -6 for at få -7.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x=-7$$

Multiplicer begge sider med 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x}{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{\frac{1}{2}}$$

Division med \frac{1}{2} annullerer multiplikationen med \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{9}{2}}{\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{7}{\frac{1}{2}}$$

Divider -\frac{9}{2} med \frac{1}{2} ved at multiplicere -\frac{9}{2} med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x^{2}-9x=-\frac{7}{\frac{1}{2}}$$

Divider -7 med \frac{1}{2} ved at multiplicere -7 med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x^{2}-9x=-14$$

Divider -9, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Adder -14 til \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{9}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=7 x=2$$