Løs 2x+1/x=4x

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x.

$$2x+1=4xx$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 2 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 4 til 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Divider -2+2\sqrt{5} med -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{5} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Divider -2-2\sqrt{5} med -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med 0, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med x.

$$2x+1=4xx$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Divider -1 med -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$