Løs 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x\times 2 for at få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombiner 4x og -3x for at få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -6.

$$-1,6 -2,3$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=3 b=-2$$

Omskriv -3x^{2}+x+2 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Ud3x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Løs -x+1=0 og 3x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x\times 2 for at få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombiner 4x og -3x for at få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 1 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 1 til 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±5}{-6} når ± er plus. Adder -1 til 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±5}{-6} når ± er minus. Subtraher 5 fra -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Divider -6 med -6.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x\times 2 for at få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtraher 3x fra begge sider.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Kombiner 4x og -3x for at få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Subtraher 2 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$x-3x^{2}=-2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Divider 1 med -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Divider -2 med -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Divider -\frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj \frac{2}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Adder \frac{1}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$