Løs 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Løs for x

$$x=5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,-1,1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x+1, og kombiner ens led.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+3x+2 med 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Kombiner 2x^{2} og x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Kombiner 6x og -3x for at få 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Tilføj 4 og 2 for at få 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-1 med 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Kombiner 3x^{2} og -4x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Tilføj 6 og 4 for at få 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som -x^{2}+ax+bx+10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=5 b=-2$$

Omskriv -x^{2}+3x+10 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Udfaktoriser -x i den første og -2 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Løs x-5=0 og -x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=-2$$

Variablen x må ikke være lig med -2.

$$x=5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,-1,1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x+1, og kombiner ens led.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+3x+2 med 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Kombiner 2x^{2} og x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Kombiner 6x og -3x for at få 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Tilføj 4 og 2 for at få 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-1 med 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Kombiner 3x^{2} og -4x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Tilføj 6 og 4 for at få 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±7}{-2} når ± er plus. Adder -3 til 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divider 4 med -2.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±7}{-2} når ± er minus. Subtraher 7 fra -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Divider -10 med -2.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=5$$

Variablen x må ikke være lig med -2.

$$x=5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,-1,1,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+2 med x+1, og kombiner ens led.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}+3x+2 med 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-2 med x-1, og kombiner ens led.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Kombiner 2x^{2} og x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Kombiner 6x og -3x for at få 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Tilføj 4 og 2 for at få 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-1 med 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Kombiner 3x^{2} og -4x^{2} for at få -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Subtraher 6 fra -4 for at få -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Divider 3 med -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Divider -10 med -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adder 10 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=-2$$

Variablen x må ikke være lig med -2.

$$x=5$$