Løs 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=0$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x for at få 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tilføj -2 og 1 for at få -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Tilføj 1 på begge sider.

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

Tilføj -1 og 1 for at få 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+3x=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og 0 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 3^{2}.

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±3}{-2} når ± er plus. Adder -3 til 3.

$$x=\frac{0}{-2}$$

Divider 0 med -2.

$$x=0$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±3}{-2} når ± er minus. Subtraher 3 fra -3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=0 x=3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kombiner 2x og x for at få 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tilføj -2 og 1 for at få -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Overvej \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 1.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Tilføj 1 på begge sider.

$$3x-x^{2}=-1+1$$

Tilføj -1 og 1 for at få 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+3x=0$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

Divider 3 med -1.

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

Divider 0 med -1.

$$x^{2}-3x=0$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=0$$