Løs frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Overvej \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Subtraher 5 fra 4 for at få -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Multiplicer 2+\sqrt{5} og 2+\sqrt{5} for at få \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Kvadratet på \sqrt{5} er 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Tilføj 4 og 5 for at få 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Alt, der divideres med -1, giver det modsatte. For at finde det modsatte af 9+4\sqrt{5} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-9-4\sqrt{5}$$