Løs frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Løs for b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Vejledning i at løse lineær ligning

Rationaliser \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Overvej \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Subtraher 3 fra 4 for at få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Multiplicer 2+\sqrt{3} og 2+\sqrt{3} for at få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Subtraher a fra begge sider.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Ligningen er nu i standardform.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Divider begge sider med \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Division med \sqrt{3} annullerer multiplikationen med \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Divider 4\sqrt{3}-a+7 med \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Løs for a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$