Løs frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } }$$

Evaluer

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Overvej \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrér 2. Kvadrér \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Subtraher 3 fra 4 for at få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}$$

Hvad som helst divideret med én er lig med sig selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$$

Multiplicer 2+\sqrt{3} og 2+\sqrt{3} for at få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratet på \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Tilføj 4 og 3 for at få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$