Løs frac{2+sqrt{2}}{3+sqrt{2}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 3 + \sqrt { 2 } }$$

Evaluer

$$\frac{\sqrt{2}+4}{7}\approx 0,77345908$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{2+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 3-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}$$

Overvej \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrér 3. Kvadrér \sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{9-2}$$

Subtraher 2 fra 9 for at få 7.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{7}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 2+\sqrt{2} med hvert led i 3-\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Kombiner -2\sqrt{2} og 3\sqrt{2} for at få \sqrt{2}.

$$\frac{6+\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{6+\sqrt{2}-2}{7}$$

Subtraher 2 fra 6 for at få 4.

$$\frac{4+\sqrt{2}}{7}$$

Faktoriser

$$\frac{\sqrt{2} + 4}{7} = 0,7734590803390136$$