Løs 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Løs for x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -250,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2x\left(x+250\right), det mindste fælles multiplum af x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+500 med 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplicer 2 og 1500 for at få 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtraher 250x fra begge sider.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Kombiner 3000x og -250x for at få 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Kombiner 2750x og -3000x for at få -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+750000. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Løsningen er det par, der får summen 250.

$$a=-750 b=1000$$

Omskriv -x^{2}-250x+750000 som \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Udx i den første og 1000 i den anden gruppe.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-750 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Løs x-750=0 og x+1000=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=750 x=-1000$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -250,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2x\left(x+250\right), det mindste fælles multiplum af x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+500 med 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplicer 2 og 1500 for at få 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtraher 250x fra begge sider.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Kombiner 3000x og -250x for at få 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Kombiner 2750x og -3000x for at få -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -250 med b og 750000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -250.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 62500 til 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -250 er 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{250±1750}{-2} når ± er plus. Adder 250 til 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Divider 2000 med -2.

$$x=-1000$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{250±1750}{-2} når ± er minus. Subtraher 1750 fra 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Divider -1500 med -2.

$$x=750$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1000 x=750$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -250,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2x\left(x+250\right), det mindste fælles multiplum af x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+500 med 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplicer 2 og 1500 for at få 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtraher 250x fra begge sider.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Kombiner 3000x og -250x for at få 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Subtraher 750000 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Kombiner 2750x og -3000x for at få -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Divider -250 med -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Divider -750000 med -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Divider 250, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 125. Adder derefter kvadratet af 125 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Kvadrér 125.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Adder 750000 til 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Faktor x^{2}+250x+15625. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Forenkling.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Subtraher 125 fra begge sider af ligningen.

$$x=750 x=-1000$$