Løs 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

Løs for p

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0,8+2,315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0,8-2,315167381i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen p må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med p\left(p+2\right), det mindste fælles multiplum af p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere p+2 med 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere p med 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Kombiner 15p og -5p for at få 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere p med p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Subtraher p^{2} fra begge sider.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Kombiner 6p^{2} og -p^{2} for at få 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Subtraher 2p fra begge sider.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Kombiner 10p og -2p for at få 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5p^{2}+8p+30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 8 med b og 30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Kvadrér 8.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 30.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

Adder 64 til -600.

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -536.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} når ± er plus. Adder -8 til 2i\sqrt{134}.

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

Divider -8+2i\sqrt{134} med 10.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{134} fra -8.

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

Divider -8-2i\sqrt{134} med 10.

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen p må ikke være lig med en af følgende værdier -2,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med p\left(p+2\right), det mindste fælles multiplum af p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere p+2 med 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere p med 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Kombiner 15p og -5p for at få 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere p med p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Subtraher p^{2} fra begge sider.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Kombiner 6p^{2} og -p^{2} for at få 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Subtraher 2p fra begge sider.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Kombiner 10p og -2p for at få 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Subtraher 30 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$8p+5p^{2}=-30$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5p^{2}+8p=-30$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

Divider -30 med 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

Divider \frac{8}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{4}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{4}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{4}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

Adder -6 til \frac{16}{25}.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

Faktoriser p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

Forenkling.

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

Subtraher \frac{4}{5} fra begge sider af ligningen.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$