Løs 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Løs for x

$$x=-8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,5,7, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-7 med 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

For at finde det modsatte af 8x-56 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Kombiner 10x og -8x for at få 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Tilføj -50 og 56 for at få 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+3 med x+10, og kombiner ens led.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Subtraher 13x fra begge sider.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Kombiner 2x og -13x for at få -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Subtraher 30 fra begge sider.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

Subtraher 30 fra 6 for at få -24.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -11 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 121 til -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±5}{-2} når ± er plus. Adder 11 til 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Divider 16 med -2.

$$x=-8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±5}{-2} når ± er minus. Subtraher 5 fra 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divider 6 med -2.

$$x=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-8 x=-3$$

Variablen x må ikke være lig med -3.

$$x=-8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,5,7, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-5 med 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-7 med 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

For at finde det modsatte af 8x-56 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Kombiner 10x og -8x for at få 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Tilføj -50 og 56 for at få 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+3 med x+10, og kombiner ens led.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Subtraher 13x fra begge sider.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Kombiner 2x og -13x for at få -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

Subtraher 6 fra 30 for at få 24.

$$-11x-x^{2}=24$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-11x=24$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Divider -11 med -1.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Divider 24 med -1.

$$x^{2}+11x=-24$$

Divider 11, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Adder -24 til \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}+11x+\frac{121}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Subtraher \frac{11}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-3 x=-8$$

Variablen x må ikke være lig med -3.

$$x=-8$$