Løs 1-2x/x+7=x/x-1

$$\frac { 1 - 2 x } { x + 7 } = \frac { x } { x - 1 }$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -7,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+7\right), det mindste fælles multiplum af x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 1-2x, og kombiner ens led.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+7 med x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Kombiner -2x^{2} og -x^{2} for at få -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Subtraher 7x fra begge sider.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Kombiner 3x og -7x for at få -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som -3x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-1 b=-3$$

Omskriv -3x^{2}-4x-1 som \left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right).

$$\left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right)$$

Udfaktoriser -x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(3x+1\right)-\left(3x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+1\right)\left(-x-1\right)$$

Løs 3x+1=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -7,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+7\right), det mindste fælles multiplum af x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 1-2x, og kombiner ens led.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+7 med x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Kombiner -2x^{2} og -x^{2} for at få -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Subtraher 7x fra begge sider.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Kombiner 3x og -7x for at få -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, -4 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 16 til -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\left(-3\right)}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{4±2}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2}{-6} når ± er plus. Adder 4 til 2.

$$x=\frac{6}{-6}$$

Divider 6 med -6.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2}{-6} når ± er minus. Subtraher 2 fra 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -7,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+7\right), det mindste fælles multiplum af x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x-1 med 1-2x, og kombiner ens led.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+7 med x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Kombiner -2x^{2} og -x^{2} for at få -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Subtraher 7x fra begge sider.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Kombiner 3x og -7x for at få -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Tilføj 1 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-4x-3x^{2}=1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3x^{2}-4x=1$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=\frac{1}{-3}$$

Divider -4 med -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Divider 1 med -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider \frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Subtraher \frac{2}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$