Løs 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

Løs for x

$$x=-1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Subtraher 4 fra 2 for at få -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$x-2=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Tilføj -2 og 4 for at få 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=2 b=-1$$

Omskriv -x^{2}+x+2 som \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Ud-x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Løs x-2=0 og -x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-1$$

Variablen x må ikke være lig med 2.

$$x=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Subtraher 4 fra 2 for at få -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$x-2=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Tilføj -2 og 4 for at få 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 1 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±3}{-2} når ± er plus. Adder -1 til 3.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$x=-1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±3}{-2} når ± er minus. Subtraher 3 fra -1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divider -4 med -2.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1 x=2$$

Variablen x må ikke være lig med 2.

$$x=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,2, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), det mindste fælles multiplum af x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Subtraher 4 fra 2 for at få -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Overvej \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrér 2.

$$x-2=x^{2}-4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Tilføj 2 på begge sider.

$$x-x^{2}=-4+2$$

Tilføj -4 og 2 for at få -2.

$$x-x^{2}=-2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+x=-2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

Divider -2 med -1.

$$x^{2}-x=2$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adder 2 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-1$$

Variablen x må ikke være lig med 2.

$$x=-1$$