Løs 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,4, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Kombiner 4x og 4x for at få 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Subtraher 4 fra -16 for at få -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-20 med x-1, og kombiner ens led.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Tilføj 25x på begge sider.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Kombiner 8x og 25x for at få 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Subtraher 20 fra begge sider.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Subtraher 20 fra -20 for at få -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 33 med b og -40 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 1089 til -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-33±17}{-10} når ± er plus. Adder -33 til 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Reducer fraktionen \frac{-16}{-10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-33±17}{-10} når ± er minus. Subtraher 17 fra -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Divider -50 med -10.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier 1,4, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), det mindste fælles multiplum af x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Kombiner 4x og 4x for at få 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Subtraher 4 fra -16 for at få -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x-20 med x-1, og kombiner ens led.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Tilføj 25x på begge sider.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Kombiner 8x og 25x for at få 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Tilføj 20 på begge sider.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Tilføj 20 og 20 for at få 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Divider 33 med -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Divider 40 med -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Divider -\frac{33}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{33}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{33}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{33}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Adder -8 til \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Adder \frac{33}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$