Løs 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombiner x og x\times 4 for at få 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombiner 5x og x for at få 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtraher 15x fra begge sider.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Kombiner 6x og -15x for at få -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtraher 15 fra begge sider.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Subtraher 15 fra 1 for at få -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -9 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Adder 81 til 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} når ± er plus. Adder 9 til \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{137} fra 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med x\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombiner x og x\times 4 for at få 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Kombiner 5x og x for at få 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtraher 15x fra begge sider.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Kombiner 6x og -15x for at få -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Subtraher 1 fra 15 for at få 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-9x=14$$

Divider -9, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Adder 14 til \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Adder \frac{9}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$