Løs 1/x+1/x+6-1/4=0

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 6 } - \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4x\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x,x+6,4.

$$4x+24+4x+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Kombiner 4x og 4x for at få 8x.

$$8x+24+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Multiplicer 4 og -\frac{1}{4} for at få -1.

$$8x+24-x\left(x+6\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -x med x+6.

$$8x+24-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 8x og -6x for at få 2x.

$$2x+24-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+2x+24=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=-24=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=6 b=-4$$

Omskriv -x^{2}+2x+24 som \left(-x^{2}+6x\right)+\left(-4x+24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-4x+24\right)$$

Ud-x i den første og -4 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-6\right)-4\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(-x-4\right)$$

Løs x-6=0 og -x-4=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=-4$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4x\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x,x+6,4.

$$4x+24+4x+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Kombiner 4x og 4x for at få 8x.

$$8x+24+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Multiplicer 4 og -\frac{1}{4} for at få -1.

$$8x+24-x\left(x+6\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -x med x+6.

$$8x+24-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 8x og -6x for at få 2x.

$$2x+24-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+2x+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 2 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 4 til 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-2±10}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±10}{-2} når ± er plus. Adder -2 til 10.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Divider 8 med -2.

$$x=-4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±10}{-2} når ± er minus. Subtraher 10 fra -2.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Divider -12 med -2.

$$x=6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-4 x=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -6,0, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4x\left(x+6\right), det mindste fælles multiplum af x,x+6,4.

$$4x+24+4x+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Kombiner 4x og 4x for at få 8x.

$$8x+24+4x\left(x+6\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=0$$

Multiplicer 4 og -\frac{1}{4} for at få -1.

$$8x+24-x\left(x+6\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -x med x+6.

$$8x+24-x^{2}-6x=0$$

Kombiner 8x og -6x for at få 2x.

$$2x+24-x^{2}=0$$

Subtraher 24 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$2x-x^{2}=-24$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+2x=-24$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{24}{-1}$$

Divider -24 med -1.

$$x^{2}-2x=24$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=24+1$$

Adder 24 til 1.

$$x^{2}-2x+1=25$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=25$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Forenkling.

$$x-1=5 x-1=-5$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=-4$$