Løs 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Kombiner x og 2x for at få 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Tilføj -1 og 2 for at få 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 3x og -2x for at få x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 1 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divider -1+\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{5} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Divider -1-\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -1,1, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), det mindste fælles multiplum af x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x+1 med 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Kombiner x og 2x for at få 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Tilføj -1 og 2 for at få 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 3x og -2x for at få x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$x-x^{2}=-1$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+x=-1$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Divider -1 med -1.

$$x^{2}-x=1$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Adder 1 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$