Løs 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,\frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombiner 5x og 48x for at få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtraher 16 fra 10 for at få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x+10 med 3x-1, og kombiner ens led.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtraher 15x^{2} fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtraher 25x fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombiner 53x og -25x for at få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Tilføj 10 på begge sider.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Tilføj -6 og 10 for at få 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -15x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er det par, der får summen 28.

$$a=30 b=-2$$

Omskriv -15x^{2}+28x+4 som \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Ud15x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Løs -x+2=0 og 15x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,\frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombiner 5x og 48x for at få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtraher 16 fra 10 for at få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x+10 med 3x-1, og kombiner ens led.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtraher 15x^{2} fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtraher 25x fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombiner 53x og -25x for at få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Tilføj 10 på begge sider.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Tilføj -6 og 10 for at få 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -15 med a, 28 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Kvadrér 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicer -4 gange -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicer 60 gange 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Adder 784 til 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Tag kvadratroden af 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicer 2 gange -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-28±32}{-30} når ± er plus. Adder -28 til 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{-30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-28±32}{-30} når ± er minus. Subtraher 32 fra -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Divider -60 med -30.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -2,\frac{1}{3}, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Kombiner 5x og 48x for at få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtraher 16 fra 10 for at få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x+10 med 3x-1, og kombiner ens led.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtraher 15x^{2} fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtraher 25x fra begge sider.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Kombiner 53x og -25x for at få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Tilføj 6 på begge sider.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Tilføj -10 og 6 for at få -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Divider begge sider med -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Division med -15 annullerer multiplikationen med -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divider 28 med -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Divider -4 med -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divider -\frac{28}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{14}{15}. Adder derefter kvadratet af -\frac{14}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{14}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Føj \frac{4}{15} til \frac{196}{225} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Adder \frac{14}{15} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$