Løs 1/5x-3=5x(1/10x+1/10)

$$\frac { 1 } { 5 } x - 3 = 5 x ( \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 10 } )$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10}\approx -0,3+2,431049156i$$

$$x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10}\approx -0,3-2,431049156i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x med \frac{1}{10}x+\frac{1}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=5x\times \frac{1}{10}x+5x\times \frac{1}{10}$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$\frac{1}{5}x-3=5x^{2}\times \frac{1}{10}+5x\times \frac{1}{10}$$

Multiplicer 5 og \frac{1}{10} for at få \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{5}{10}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{5}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Multiplicer 5 og \frac{1}{10} for at få \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{10}x$$

Reducer fraktionen \frac{5}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x$$

Subtraher \frac{1}{2}x^{2} fra begge sider.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x$$

Subtraher \frac{1}{2}x fra begge sider.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=0$$

Kombiner \frac{1}{5}x og -\frac{1}{2}x for at få -\frac{3}{10}x.

$$-\frac{3}{10}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{10}x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -\frac{1}{2} med a, -\frac{3}{10} med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicer -4 gange -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}+2\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-6}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Adder \frac{9}{100} til -6.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{-\frac{591}{100}}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Tag kvadratroden af -\frac{591}{100}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Det modsatte af -\frac{3}{10} er \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Multiplicer 2 gange -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{-1}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{-1} når ± er plus. Adder \frac{3}{10} til \frac{i\sqrt{591}}{10}.

$$x=\frac{3+\sqrt{591}i}{-10}$$

Divider \frac{3+i\sqrt{591}}{10} med -1.

$$x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{-1} når ± er minus. Subtraher \frac{i\sqrt{591}}{10} fra \frac{3}{10}.

$$x=\frac{-\sqrt{591}i+3}{-10}$$

Divider \frac{3-i\sqrt{591}}{10} med -1.

$$x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10} x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5x med \frac{1}{10}x+\frac{1}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=5x\times \frac{1}{10}x+5x\times \frac{1}{10}$$

Multiplicer x og x for at få x^{2}.

$$\frac{1}{5}x-3=5x^{2}\times \frac{1}{10}+5x\times \frac{1}{10}$$

Multiplicer 5 og \frac{1}{10} for at få \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{5}{10}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{5}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Multiplicer 5 og \frac{1}{10} for at få \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{10}x$$

Reducer fraktionen \frac{5}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x$$

Subtraher \frac{1}{2}x^{2} fra begge sider.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x$$

Subtraher \frac{1}{2}x fra begge sider.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=0$$

Kombiner \frac{1}{5}x og -\frac{1}{2}x for at få -\frac{3}{10}x.

$$-\frac{3}{10}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=0$$

Tilføj 3 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{1}{2}x^{2}=3$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{10}x=3$$

Multiplicer begge sider med -2.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{10}x}{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Division med -\frac{1}{2} annullerer multiplikationen med -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{2}}\right)x=\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Divider -\frac{3}{10} med -\frac{1}{2} ved at multiplicere -\frac{3}{10} med den reciprokke værdi af -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Divider 3 med -\frac{1}{2} ved at multiplicere 3 med den reciprokke værdi af -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-6$$

Divider \frac{3}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{10}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-6+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-6+\frac{9}{100}$$

Adder -6 til \frac{9}{100}.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{591}{100}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{591}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{591}{100}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{591}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{591}i}{10}$$

Subtraher \frac{3}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10} x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10}$$