Løs 1/4=(2k+2)^2-(8-k)/(8-k)^2

$$\frac { 1 } { 4 } = \frac { ( 2 k + 2 ) ^ { 2 } - ( 8 - k ) } { ( 8 - k ) ^ { 2 } }$$

Løs for k

$$k = \frac{2 \sqrt{469} - 26}{15} \approx 1,15418771$$

$$k=\frac{-2\sqrt{469}-26}{15}\approx -4,620854377$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen k må ikke være lig med 8, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(k-8\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 4,\left(8-k\right)^{2}.

$$\left(k-8\right)^{2}=4\left(\left(2k+2\right)^{2}-\left(8-k\right)\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(k-8\right)^{2}.

$$k^{2}-16k+64=4\left(\left(2k+2\right)^{2}-\left(8-k\right)\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2k+2\right)^{2}.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+8k+4-\left(8-k\right)\right)$$

For at finde det modsatte af 8-k skal du finde det modsatte af hvert led.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+8k+4-8+k\right)$$

Subtraher 8 fra 4 for at få -4.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+8k-4+k\right)$$

Kombiner 8k og k for at få 9k.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+9k-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 4k^{2}+9k-4.

$$k^{2}-16k+64=16k^{2}+36k-16$$

Subtraher 16k^{2} fra begge sider.

$$k^{2}-16k+64-16k^{2}=36k-16$$

Kombiner k^{2} og -16k^{2} for at få -15k^{2}.

$$-15k^{2}-16k+64=36k-16$$

Subtraher 36k fra begge sider.

$$-15k^{2}-16k+64-36k=-16$$

Kombiner -16k og -36k for at få -52k.

$$-15k^{2}-52k+64=-16$$

Tilføj 16 på begge sider.

$$-15k^{2}-52k+64+16=0$$

Tilføj 64 og 16 for at få 80.

$$-15k^{2}-52k+80=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -15 med a, -52 med b og 80 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\left(-15\right)\times 80}}{2\left(-15\right)}$$

Kvadrér -52.

$$k=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\left(-15\right)\times 80}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicer -4 gange -15.

$$k=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704+60\times 80}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicer 60 gange 80.

$$k=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704+4800}}{2\left(-15\right)}$$

Adder 2704 til 4800.

$$k=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{7504}}{2\left(-15\right)}$$

Tag kvadratroden af 7504.

$$k=\frac{-\left(-52\right)±4\sqrt{469}}{2\left(-15\right)}$$

Det modsatte af -52 er 52.

$$k=\frac{52±4\sqrt{469}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicer 2 gange -15.

$$k=\frac{52±4\sqrt{469}}{-30}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{52±4\sqrt{469}}{-30} når ± er plus. Adder 52 til 4\sqrt{469}.

$$k=\frac{4\sqrt{469}+52}{-30}$$

Divider 52+4\sqrt{469} med -30.

$$k=\frac{-2\sqrt{469}-26}{15}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{52±4\sqrt{469}}{-30} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{469} fra 52.

$$k=\frac{52-4\sqrt{469}}{-30}$$

Divider 52-4\sqrt{469} med -30.

$$k=\frac{2\sqrt{469}-26}{15}$$

Ligningen er nu løst.

$$k=\frac{-2\sqrt{469}-26}{15} k=\frac{2\sqrt{469}-26}{15}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen k må ikke være lig med 8, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 4\left(k-8\right)^{2}, det mindste fælles multiplum af 4,\left(8-k\right)^{2}.

$$\left(k-8\right)^{2}=4\left(\left(2k+2\right)^{2}-\left(8-k\right)\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(k-8\right)^{2}.

$$k^{2}-16k+64=4\left(\left(2k+2\right)^{2}-\left(8-k\right)\right)$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2k+2\right)^{2}.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+8k+4-\left(8-k\right)\right)$$

For at finde det modsatte af 8-k skal du finde det modsatte af hvert led.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+8k+4-8+k\right)$$

Subtraher 8 fra 4 for at få -4.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+8k-4+k\right)$$

Kombiner 8k og k for at få 9k.

$$k^{2}-16k+64=4\left(4k^{2}+9k-4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 4k^{2}+9k-4.

$$k^{2}-16k+64=16k^{2}+36k-16$$

Subtraher 16k^{2} fra begge sider.

$$k^{2}-16k+64-16k^{2}=36k-16$$

Kombiner k^{2} og -16k^{2} for at få -15k^{2}.

$$-15k^{2}-16k+64=36k-16$$

Subtraher 36k fra begge sider.

$$-15k^{2}-16k+64-36k=-16$$

Kombiner -16k og -36k for at få -52k.

$$-15k^{2}-52k+64=-16$$

Subtraher 64 fra begge sider.

$$-15k^{2}-52k=-16-64$$

Subtraher 64 fra -16 for at få -80.

$$-15k^{2}-52k=-80$$

Divider begge sider med -15.

$$\frac{-15k^{2}-52k}{-15}=-\frac{80}{-15}$$

Division med -15 annullerer multiplikationen med -15.

$$k^{2}+\left(-\frac{52}{-15}\right)k=-\frac{80}{-15}$$

Divider -52 med -15.

$$k^{2}+\frac{52}{15}k=-\frac{80}{-15}$$

Reducer fraktionen \frac{-80}{-15} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$k^{2}+\frac{52}{15}k=\frac{16}{3}$$

Divider \frac{52}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{26}{15}. Adder derefter kvadratet af \frac{26}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{52}{15}k+\left(\frac{26}{15}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{26}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{26}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{52}{15}k+\frac{676}{225}=\frac{16}{3}+\frac{676}{225}$$

Føj \frac{16}{3} til \frac{676}{225} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k^{2}+\frac{52}{15}k+\frac{676}{225}=\frac{1876}{225}$$

Faktor k^{2}+\frac{52}{15}k+\frac{676}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{26}{15}\right)^{2}=\frac{1876}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{26}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1876}{225}}$$

Forenkling.

$$k+\frac{26}{15}=\frac{2\sqrt{469}}{15} k+\frac{26}{15}=-\frac{2\sqrt{469}}{15}$$

Subtraher \frac{26}{15} fra begge sider af ligningen.

$$k=\frac{2\sqrt{469}-26}{15} k=\frac{-2\sqrt{469}-26}{15}$$