Løs 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{3} med a, \frac{4}{5} med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Du kan kvadrere \frac{4}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicer -\frac{4}{3} gange -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Føj \frac{16}{25} til \frac{4}{3} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Tag kvadratroden af \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} når ± er plus. Adder -\frac{4}{5} til \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Divider -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} med \frac{2}{3} ved at multiplicere -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} med den reciprokke værdi af \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} når ± er minus. Subtraher \frac{2\sqrt{111}}{15} fra -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Divider -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} med \frac{2}{3} ved at multiplicere -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} med den reciprokke værdi af \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Multiplicer begge sider med 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Division med \frac{1}{3} annullerer multiplikationen med \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Divider \frac{4}{5} med \frac{1}{3} ved at multiplicere \frac{4}{5} med den reciprokke værdi af \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Divider 1 med \frac{1}{3} ved at multiplicere 1 med den reciprokke værdi af \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Divider \frac{12}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{6}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{6}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{6}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Adder 3 til \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Subtraher \frac{6}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$